Question

定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为P点的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．

（1）①点A（1，3）的“坐标差”为　   　；

②抛物线y＝﹣x²+3x+4的“特征值”为　   　；

（2）某二次函数y＝﹣x²+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，点B（m，0）与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等．

①直接写出m＝　   　；（用含c的式子表示）

②求此二次函数的表达式．

Answer

（1）①2；②5；（2）①m=－c；②y=﹣x2+3x-2

【解析】

（1）①由题中所给“坐标差”的定义即可得到点A（1，3）的坐标差.

②由坐标差的定义可得：二次函数y＝－x2＋3x＋4图象上点的坐标差为：y－x＝－x2＋3x＋3－x＝－x2＋2x＋3，将此关系式配方即可求得y－x的最大值，从而得到抛物线y＝－x2＋3x＋4的“特征值”.

（2）①由题意可得：0－m＝c－0，由此可得：m＝－c.

②由m＝－c可得点B的坐标为（－c，0），把点B的坐标代入y＝x2＋bx＋c（c≠0）中可得c(c－b＋1)＝0，由c≠0可得c－b＋1＝0，即b＝c＋1.再由y＝x2＋bx＋c（c≠0）的特征值为－1可得：＝－1，两者即可解得b和c的值，由此即可得到二次函数的解析式.

（1）①2.②4.

点A（1，3）的“坐标差”为3－1＝2，抛物线y＝﹣x2＋3x＋4的“特征值”为－x2＋3x＋4－x的最大值，－x2＋3x＋4－x＝－x2＋2x＋4＝－(x2－2x＋1－1)＋4＝－(x－1)2＋5，所以抛物线y＝﹣x2＋3x＋4的“特征值”为5.

（2）①m＝－c.

   ②∵m＝－c

  ∴B（－c，0）

  将其代入 y＝－x2＋bx＋c中，

  得－c2－bc＋c＝0

  ∵c≠0

  ∴－c－b＋1＝0

  ∴b＝－c＋1①

  ∴其“坐标差”为：y－x＝－x2＋bx＋c－x＝－x2＋（b－1）x＋c.

  ∵“特征值”为－1.

  ∴＝－1 ②.

  将①代入②中，得c＝－2.

  ∴b＝－c＋1＝3.

  ∴抛物线的表达式为y＝－x2＋3x－2.