Question

如图，抛物线y=ax²+bx+1经过点（2，6），且与直线y=x+1相交于A，B两点，点A在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（4，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若P是直线AB上方该抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交AB于点E，求线段PE的最大值；

（3）在（2）的条件，设PC与AB相交于点Q，当线段PC与BE相互平分时，请求出点Q的坐标．

Answer

（1）y=-x2+x+1；（2）当x=2时，PE的最大值为4；（3）点Q的坐标为（，）或（，）．

【解析】

（1）利用直线解析式可求得B点坐标，再利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（2）设出P点坐标，则可表示出E点坐标，则可表示出PE的长，利用二次函数的性质可求得PE的最大值；

（3）由条件可知四边形BCEP为平行四边形，可得BC=PE，则可求得P点坐标，利用中点坐标可求得Q点坐标．

（1）∵BC⊥x轴，垂足为点C（4，0），且点B在直线y=x+1上，

∴点B的坐标为（4，3），

∴抛物线y=ax2+bx+1经过点（2，6）和点B（4，3），

∴，解得，

∴抛物线的解析式为y=-x2+x+1；

（2）设动点P的坐标为（x，-x2+x+1），则点E的坐标为：（x，x+1），

∵PD⊥x轴于点D，且点P在x轴上，

∴PE=PD-ED=-x2+x+1-（x+1）=-x2+4x=-（x-2）2+4，

∴当x=2时，PE的最大值为4；

（3）∵PC与BE互相平分，

∴四边形BCEP为平行四边形，

∴PE=BC，

∴-x2+4x=3即x2-4x+3=0，解得x1=1，x2=3，

∵点Q分别是PC，BE的中点，且点Q在直线y=x+1

∴①当x=1时，点Q的横坐标为，点Q的坐标为（，），

②当x=3时，点Q的横坐标为，点Q的坐标为（，），

综上可知点Q的坐标为（，）或（，）．