Question

（1）已知：如图1，P为△ADC内一点，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，如果∠A=90°，那么∠P=______°；如果∠A=x°，则∠P=____________°；（答案直接填在题中横线上）

（2）如图2，P为四边形ABCD内一点，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试探究∠P与∠A+∠B的数量关系，并写出你的探索过程；

（3）如图3，P为五边形ABCDE内一点，DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD，请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E的数量关系：________________；

（4）若P为n边形A₁A₂A₃…A_n内一点，PA₁平分∠A_nA₁A₂，PA₂平分∠A₁A₂A₃，请直接写出∠P与∠A₃+A₄+A₅+…∠A_n的数量关系：__________________________．（用含n的代数式表示）

Answer

如果∠A=90°，那么∠P=135°；如果∠A=x°，则∠P=（90+）° ∠P=（∠A+∠B） ∠P=（∠A+∠B+∠E）﹣90° ∠P=（∠A3+∠A4+∠A5+…∠An）﹣（n﹣4）×90°

【解析】

（1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理，列式整理解答；

（2）根据角平分线的定义和四边形的内角和，列式整理解答；

（3）根据角平分线的定义和五边形的内角和，列式整理解答；

（4）根据角平分线的定义和n边形的内角和公式，列式整理解答；

（1）∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，

∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，

∴∠DPC=180°﹣∠PDC﹣∠PCD

=180°﹣∠ADC﹣∠ACD

=180°﹣（∠ADC+∠ACD）

=180°﹣（180°﹣∠A）

=90°+ ∠A，

∴如果∠A=90°，那么∠P=135°；如果∠A=x°，则∠P=（90+）°；

（2）∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，

∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠BCD，

∴∠DPC=180°﹣∠PDC﹣∠PCD

=180°﹣∠ADC﹣∠BCD

=180°﹣（∠ADC+∠BCD）

=180°﹣（360°﹣∠A﹣∠B）

=（∠A+∠B）；

（3）五边形ABCDEF的内角和为：（5﹣2）•180°=540°，

∵DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD，

∴∠PDC=∠EDC，∠PCD=∠BCD，

∴∠P=180°﹣∠PDC﹣∠PCD

=180°﹣∠EDC﹣∠BCD

=180°﹣（∠EDC+∠BCD）

=180°﹣（540°﹣∠A﹣∠B﹣∠E）

=（∠A+∠B+∠E）﹣90°，

即∠P=（∠A+∠B+∠E）﹣90°；

（4）同（1）可得，∠P=（∠A3+∠A4+∠A5+…∠An）﹣（n﹣4）×90°．

故答案为：（1）如果∠A=90°，那么∠P=135°；如果∠A=x°，则∠P=（90+）°（2）∠P=180°﹣∠PDC﹣∠PCD=（∠A+∠B）（3）∠P=（∠A+∠B+∠E）﹣90°（4）∠P=（∠A3+∠A4+∠A5+…∠An）﹣（n﹣4）×90°