Question

如图，四边形ABCD的内角∠BAD、∠CDA的角平分线交于点E，∠ABC、∠BCD的角平分线交于点F．

（1）若∠F=80º，则∠ABC+∠BCD=　      　；∠E=　       　；

（2）探索∠E与∠F有怎样的数量关系，并说明理由；

（3）给四边形ABCD添加一个条件，使得∠E=∠F所添加的条件为　       　．

Answer

（1）220；110；（2）∠E+∠F=180°．理由见解析. （3）AB∥CD．

【解析】

试题（1）先根据三角形内角和定理求出∠FBC+∠BCF=180°-∠F=110°，再由角平分线定义得出∠ABC=2∠FBC，∠BCD=2∠BCF，那么∠ABC+∠BCD=2∠FBC+2∠BCF=2（∠FBC+∠BCF）=220°；由四边形ABCD的内角和为360°，得出∠BAD+∠CDA=360°-（∠ABC+∠BCD）=140°．由角平分线定义得出∠DAE=∠BAD，∠ADE=∠CDA，那么∠DAE+∠ADE=∠BAD+∠CDA=（∠BAD+∠CDA）=70°，然后根据三角形内角和定理求出∠E=180°-（∠DAE+∠ADE）=110°；

（2）由四边形ABCD的内角和为360°得到∠BAD+∠CDA+∠ABC+∠BCD=360°，由角平分线定义得出∠DAE+∠ADE+∠FBC+∠BCF=180°，又根据三角形内角和定理有∠DAE+∠ADE+∠E=180°，∠FBC+∠BCF+∠F=180°，那么∠DAE+∠ADE+∠E+∠FBC+∠BCF+∠F=360°，于是∠E+∠F=360°-（∠DAE+∠ADE+∠FBC+∠BCF）=180°；

（3）由（2）可知∠E+∠F=180°，如果∠E=∠F，那么可以求出∠E=∠F=90°，根据三角形内角和定理求出∠DAE+∠ADE=90°，再利用角平分线定义得到∠BAD+∠CDA=180°，于是AB∥CD．

试题解析：（1）∵∠F=70，

∴FBC+∠BCF=180°−∠F=110°.

∵∠ABC、∠BCD的角平分线交于点F，

∴∠ABC=2∠FBC，∠BCD=2∠BCF，

∴∠ABC+∠BCD=2∠FBC+2∠BCF=2(∠FBC+∠BCF)=220°；

∵四边形ABCD的内角和为360°，

∴∠BAD+∠CDA=360°−(∠ABC+∠BCD)=140°.

∵四边形ABCD的内角∠BAD、∠CDA的角平分线交于点E，

∴∠DAE=∠BAD，∠ADE=∠CDA，

∴∠DAE+∠ADE=∠BAD+∠CDA=(∠BAD+∠CDA)=70°，

∴∠E=180°−(∠DAE+∠ADE)=110°；

故答案为：220；110；

（2）∠E+∠F=180°．理由如下：

∵∠BAD+∠CDA+∠ABC+∠BCD=360°，

∵四边形ABCD的内角∠BAD、∠CDA的角平分线交于点E，∠ABC、∠BCD的角平分线交于点F，

∴∠DAE+∠ADE+∠FBC+∠BCF=180°，

∵∠DAE+∠ADE+∠E=180°，∠FBC+∠BCF+∠F=180°，

∴∠DAE+∠ADE+∠E+∠FBC+∠BCF+∠F=360°，

∴∠E+∠F=360°-（∠DAE+∠ADE+∠FBC+∠BCF）=180°；

（3）AB∥CD．