Question

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．                                  

（1）求证：四边形ABCD是矩形；                                            

（2）若AB＝2，求△OEC的面积．                                           

Answer

（1）证明见解析；（2）1.

【解析】

（1）只要证明三个角是直角即可解决问题；

（2）作OF⊥BC于F．求出EC、OF的长即可；

（1）证明：∵AD∥BC，

∴∠ABC+∠BAD=180°，

∵∠ABC=90°，

∴∠BAD=90°，

∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，

∴四边形ABCD是矩形．

（2）作OF⊥BC于F．

∵四边形ABCD是矩形，

∴CD=AB=2，∠BCD=90°，AO=CO，BO=DO，AC=BD，

∴AO=BO=CO=DO，

∴BF=FC，

∴OF=CD=1，

∵DE平分∠ADC，∠ADC=90°，

∴∠EDC=45°，

在Rt△EDC中，EC=CD=2，

∴△OEC的面积=•EC•OF=1．