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如图,直线l1解析式为y=x+2,且与坐标轴分别交于A、B两点,与双曲线交于点P...

如图,直线l1解析式为y=x+2,且与坐标轴分别交于AB两点,与双曲线交于点P(﹣11).点M是双曲线在第四象限上的一点,过点M的直线l2与双曲线只有一个公共点,并与坐标轴分别交于点C、点D,当四边形ABCD的面积取最小值时,则点M的坐标为(  )

 

A. 1,﹣1    B. 2,﹣    C. 3,﹣    D. 不能确定

 

A 【解析】 先求出A、B两点的坐标,有P(﹣1,1)在反比例函数图象上求得解析式为y,设M点横坐标为a,进而可得M点坐标(a,);再设直线l2的解析式为y=bx+c,根据条件“过点M的直线l2与双曲线只有一个公共点”,将M点坐标代入直线l2的解析式,求得用a表示的C、D两点坐标.由A、B、C、D四点坐标,可得AC、BD的长,因为AC⊥BD,有S四边形ABCDAC•BD,据此得到一个关于a的式子,通过化简、配方即可求得S四边形ABCD的最小值,故可得出a的值,由此得出结论. ∵直线l1解析式为y=x+2,且与坐标轴分别交于A、B两点,∴A(﹣2,0),B(0,2). 设反比例函数的解析式为y. ∵点P(﹣1,1)在反比例函数y的图象上,∴k=xy=﹣1,∴反比例函数的解析式为y. ∵点M在第四象限,且在反比例函数y的图象上,∴可设点M的坐标为(a,),其中a>0. 设直线l2的解析式为y=bx+c,则ab+c,∴cab,∴y=bxab. ∵直线y=bxab与双曲线y只有一个交点,∴方程bxab即bx2﹣(ab)x+1=0有两个相等的实根,∴[﹣(ab)]2﹣4b=(ab)2﹣4b=(ab)2=0,∴ab,∴b,c,∴直线l2的解析式为y,∴当x=0时,y,则点D的坐标为(0,); 当y=0时,x=2a,则点C的坐标为(2a,0),∴AC=2a﹣(﹣2)=2a+2,BD=2﹣()=2. ∵AC⊥BD,∴S四边形ABCDAC•BD(2a+2)(2)=4+2(a)=4+2[()2+2] =8+2()2. ∵()2≥0,∴S四边形ABCD≥8,∴当且仅当()2=0,即a=1时,四边形有最小值,∴M(1,﹣1). 故选A.
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cos (αβ)cosαcosβsinαsinβ

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