Question

如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象分别交于A、C两点，已知点B与点D关于坐标原点O成中心对称，且点B的坐标为其中．

四边形ABCD的是______填写四边形ABCD的形状

当点A的坐标为时，四边形ABCD是矩形，求m，n的值．

试探究：随着k与m的变化，四边形ABCD能不能成为菱形？若能，请直接写出k的值；若不能，请说明理由．

Answer

（1）平行四边形；（2），，（3）四边形ABCD不可能成为菱形，理由见解析.

【解析】

(1)根据正、反比例函数的对称性即可得出点A、C关于原点O成中心对称，再结合点B与点D关于坐标原点O成中心对称，即可得出对角线BD、AC互相平分，由此即可证出四边形ABCD的是平行四边形；

(2)由点A的纵坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出n值，进而得出点A的坐标以及OA的长度，再根据矩形的性质即可得出OB=OA，由点B的坐标即可求出m值；

(3)由点A在第一象限内，点B在x轴正半轴上，可得出∠AOB<90°，而菱形的对角线互相垂直平分，由此即可得知四边形ABCD不可能成为菱形．

正比例函数与反比例函数的图象分别交于A、C两点，

点A、C关于原点O成中心对称，

点B与点D关于坐标原点O成中心对称，

对角线BD、AC互相平分，

四边形ABCD的是平行四边形，

故答案为：平行四边形．

点在反比例函数的图象上，

，解得：，

点，

，

四边形ABCD为矩形，

，，，

，

；

四边形ABCD不可能成为菱形，理由如下：

点A在第一象限内，点B在x轴正半轴上，

，

与BD不可能互相垂直，

四边形ABCD不可能成为菱形．