Question

如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转α度(30＜α＜150)得到△AB′C′，B、C两点的对应点分别为点B′、C′，连接BC′，BC与AC、AB′相交于点E、F．

(1)当α＝70时，∠ABC′＝_____°，∠ACB′＝______°．

(2)求证：BC′∥CB′．

Answer

(1)40，70；(2)证明见解析.

【解析】

（1）由旋转的性质可得AB＝AC＝AB'＝AC'，∠CAC'＝70°，∠B'AC'＝∠BAC＝30°，由等腰三角形的性质可求解；

（2）由旋转的性质和等腰三角形的性质可得∠ABC'＝，∠ACB'＝，由三角形的外角性质可得∠AEF＝＝∠ACB'，即可得BC'∥CB'．

(1)∵将△ABC绕点A逆时针旋转α度得到△AB′C′，且AB＝AC，∠BAC＝30°，

∴AB＝AC＝AB'＝AC'，∠CAC'＝70°，∠B'AC'＝∠BAC＝30°，

∴∠BAC'＝100°，且AB＝AC'，

∴∠ABC'＝40°，

∵∠CAB'＝∠CAC'﹣∠B'AC'＝40°，且AC＝AB'

∴∠ACB'＝70°

故答案为40，70

(2)∵将△ABC绕点A逆时针旋转α度得到△AB′C′，且AB＝AC，∠BAC＝30°，

∴AB＝AC＝AB'＝AC'，∠CAC'＝α，∠B'AC'＝∠BAC＝30°，

∴∠BAC'＝30°+α，∠CAB'＝α﹣30°，且AB＝AC＝AB'＝AC'，

∴∠ABC'＝，∠ACB'＝

∵∠AEF＝∠ABE+∠BAC

∴∠AEF＝

∴∠AEF＝∠ACB'，

∴BC'∥B'C