Question

如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点M，点M在以AB为直径的⊙O上，AD与⊙O相交于点E，连接ME．

(1)求证：ME＝MD；

(2)当∠DAB＝30°时，判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer

(1)证明见解析；(2)直线CD与⊙O相切.

【解析】

（1）由圆周角定理可得∠AMB＝90°，可证▱ABCD是菱形，可得AD＝AB，根据等腰三角形的性质和圆内接四边形的性质可得∠ADB＝∠DEM，即MEI＝DM；

（2）过O作OH⊥CD于H，过D作DF⊥AB于F，由题意可证四边形OFDH是平行四边形，可得OH＝DF，根据菱形的性质和直角三角形的性质可得OH＝AB，根据切线的判定，可证直线CD与⊙O相切．

证明：(1)∵AB是⊙O直径，

∴∠AMB＝90°，

∴▱ABCD是菱形，

∴AD＝AB，

∴∠ADB＝∠ABD，

∵四边形AEMB是圆内接四边形，

∴∠DEM＝∠ABD，

∴∠ADB＝∠DEM，

∴ME＝MD．

(2)直线CD与⊙O相切

理由如下：

过O作OH⊥CD于H，过D作DF⊥AB于F，

∵DF⊥AB，AB∥CD，

∴DF⊥CD，且OH⊥CD，

∴OH∥DF，且AB∥CD，

∴四边形OFDH是平行四边形，

∴OH＝DF，

∵在Rt△ADF中，∠DAF＝30°，

∴DF＝AD，

又∵四边形ABCD是菱形，

∴AD＝AB，

∴OH＝DF＝AD＝AB，

又∵OH⊥CD，

∴直线CD与⊙O相切．