Question

如图，已知抛物线y＝ax²+bx的顶点为C(1，﹣1)，P是抛物线上位于第一象限内的一点，直线OP交该抛物线对称轴于点B，直线CP交x轴于点A．

(1)求该抛物线的表达式；

(2)如果点P的横坐标为m，试用m的代数式表示线段BC的长；

(3)如果△ABP的面积等于△ABC的面积，求点P坐标．

Answer

(1) y=x2-2x；(2)BC=m-1;(3) P的坐标为（）

【解析】

（1）由对称轴公式，以及已知顶点C坐标，利用待定系数法确定出解析式即可；

（2）设出P坐标，令BC与x轴交点为M，过点P作PN⊥x轴，垂足为点N，表示出PN，ON，OM，利用比例表示出BM，进而表示出BC即可；

（3）设出P坐标，由两三角形面积相等得到AC=AP，过点P作PQ⊥BC交BC于点Q，列出关于t的方程，求出方程的解确定出t的值，即可求出P坐标．

（1）∵抛物线y=ax2+bx的顶点为C（1，﹣1），∴，解得：，∴抛物线的表达式为：y=x2﹣2x；

（2）∵点P的横坐标为m，∴点P的纵坐标为：m2﹣2m，令BC与x轴交点为M，过点P作PN⊥x轴，垂足为点N．∵P是抛物线上位于第一象限内的一点，∴PN=m2﹣2m，ON=m，OM=1，由=，得：=，∴BM=m﹣2．∵点C的坐标为（1，﹣1），∴BC=m﹣2+1=m﹣1；

（3）令P（t，t2﹣2t）．∵△ABP的面积等于△ABC的面积，∴AC=AP，过点P作PQ⊥BC交BC于点Q，∴CM=MQ=1，可得：t2﹣2t=1，解得：t=1+（t=1﹣舍去），∴P的坐标为（1+，1）．