Question

如图，直线y＝﹣x+n交x轴于点A，交y轴于点C(0，4)，抛物线y＝x²+bx+c经过点A，交y轴于点B(0，﹣2)．点P为抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，连接PB，设点P的横坐标为m．

(1)求抛物线的解析式；

(2)当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长．

Answer

(1)y＝x2﹣x﹣2；(2)PD＝．

【解析】

（1）由点C坐标，得直线方程为：y=-x+n=-x+4，从而求出点A坐标，把点A、B坐标代入二次函数表达式即可求解；
（2）设点P（m，m2-m-2），当△BDP为等腰直角三角形时，BD=PD，即可求解.

(1)由点C坐标，得直线方程为：y＝﹣x+n＝﹣x+4，

令y＝0，解得：x＝3，则点A(3，0)，

把点A、B坐标代入二次函数表达式，

解得：b＝﹣，c＝﹣2，

则函数表达式为：y＝x2﹣x﹣2；

(2)设点P(m，m2﹣m﹣2)，

点B(0，﹣2)，则点D(m，﹣2)，

当△BDP为等腰直角三角形时，BD＝PD，

即： m2﹣m﹣2﹣(﹣2)＝m，

解得：m＝，(m＝0舍去)，

PD＝BD＝m＝．