Question

如图，抛物线y＝a(x+1)²﹣4a(a＜0)与x轴交于点A、B(A在B的左侧)，与y轴交于点C，CD∥x轴交抛物线于点D，连接BD交抛物线的对称轴于点E，连接BC、CE．

(1)抛物线顶点坐标为______(用含a的代数式表示)，A点坐标为______，

(2)当△DCE的面积为时，求a的值；

(3)当△BCE为直角三角形时，求抛物线的解析式．

Answer

（1）（-1，-4a），(-3,0)（2）-（3）y＝-( x＋1 )2+4或y＝－( x＋1 )2 +

【解析】

（1）由抛物线的性质，直接得到顶点坐标．令y=0，即可求得A点坐标．

（2）设对称轴交CD于M，交x轴于F，得到C(0，－3a)．由对称轴为直线x=1，得到D（－2，－3a），由△DCE的面积=，得到ME的长，即可得到E的坐标，易求直线BD的解析式为：．由E为直线BD与对称轴的交点，即可得到a的值．

（3）作DH⊥x轴于H．显然，∠CBE为锐角，所以∠CBE90°．分两种情况讨论：

①若∠BEC＝90°，②若∠BCE＝90°。

（1）抛物线y＝a（ x＋1 ）2－4a（a＜0）的顶点坐标是（-1，-4a）．令y=0，得：a（ x＋1 ）2－4a=0，解得：x=－3，或x=1，∴A点坐标为（-3，0）．

（2）设对称轴交CD于M，交x轴于F．令x=0，得：y=a-4a=－3a，∴C(0，－3a)．∵对称轴为直线x=1，∴D（－2，－3a），∴DC=2．∵△DCE的面积=，∴DC•ME=，∴ME=，∴E（－1，），易求直线BD的解析式为：．∵E为直线BD与对称轴的交点，∴当x=－1时，y=－2a，∴－2a=，解得：a=．

（3）作DH⊥x轴于H．

显然，∠CBE为锐角，所以∠CBE90°．

①若∠BEC＝90°，则∠DEC＝90°．

∵CD∥x轴，∴由对称性可知∠CEM＝∠DEM＝45°，∴∠BEF＝45°，∴∠BDH＝45°，∴BH＝DH．

∵y＝a（ x＋1 ）2－4a，∴A（－3，0），B（1，0），C（0，－3a），抛物线的对称轴为直线x＝－1，∴D（－2，－3a），∴BH＝3，DH＝－3a，∴a＝－1∴y＝-（ x＋1 ）2+4；

②若∠BCE＝90°，作BN⊥DC交DC的延长线于N，则∠BCN＋∠ECM＝∠BCN＋∠EDM＝∠BDH＋∠EDM＝90°，∴∠BCN＝∠BDH，∴Rt△BCN∽Rt△BDH，∴BN：CN=BH：DH ，∴－3a：1=3：－3a，∴a＝，∴ y＝（ x＋1 ）2 ．

综上所述：y＝-（ x＋1 ）2+4或．