Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD交AB于E，连接OD、PC、BC，∠AOD＝2∠ABC，∠P＝∠D，过E作弦GF⊥BC交圆与G、F两点，连接CF、BG．则下列结论：①CD⊥AB；②PC是⊙O的切线；③OD∥GF；④弦CF的弦心距等于BG．则其中正确的是（　　）

A. ①②④    B. ③④    C. ①②③    D. ①②③④

Answer

A

【解析】

连接BD、OC、AG、AC，过O作OQ⊥CF于Q，OZ⊥BG于Z，求出∠ABC=∠ABD，从而有弧AC=弧AD，由垂径定理的推论即可判断①的正误；

由CD⊥PB可得到∠P+∠PCD=90°，结合∠P=∠DCO、等边对等角的知识等量代换可得到∠PCO=90°，据此可判断②的正误；假设OD∥GF成立，则可得到∠ABC=30°，判断由已知条件能否得到∠ABC的度数即可判断③的正误；求出CF=AG，根据垂径定理和三角形中位线的知识可得到CQ=OZ，通过证明△OCQ≌△BOZ可得到OQ=BZ，结合垂径定理即可判断④.

连接BD、OC、AG，过O作OQ⊥CF于Q，OZ⊥BG于Z，

∵OD=OB，

∴∠ABD=∠ODB，

∵∠AOD=∠OBD+∠ODB=2∠OBD，

∵∠AOD=2∠ABC，

∴∠ABC=∠ABD，

∴弧AC=弧AD，

∵AB是直径，

∴CD⊥AB，

∴①正确；

∵CD⊥AB，

∴∠P+∠PCD=90°，

∵OD=OC，

∴∠OCD=∠ODC=∠P，

∴∠PCD+∠OCD=90°，

∴∠PCO=90°，

∴PC是切线，∴②正确；

假设OD∥GF，则∠AOD=∠FEB=2∠ABC，

∴3∠ABC=90°，

∴∠ABC=30°，

已知没有给出∠B=30°，∴③错误；

∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，

∵EF⊥BC，

∴AC∥EF，

∴弧CF=弧AG，

∴AG=CF，

∵OQ⊥CF，OZ⊥BG，

∴CQ=AG，OZ=AG，BZ=BG，

∴OZ=CQ，

∵OC=OB，∠OQC=∠OZB=90°，

∴△OCQ≌△BOZ，

∴OQ=BZ=BG，

∴④正确．

故选：A．