Question

如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上一点，CD与半圆O相切于点D，连接AD，BD．

（1）求证：∠BAD＝∠BDC；

（2）若sin∠BDC＝，BC＝2，求⊙O的半径．

Answer

（1）证明见解析（2）3

【解析】

（1）连接OD，如图，先由切线的性质得∠ODB+∠BDC=90°，再由圆周角定理得到∠ODB+∠ODA=90°，则∠BDC=∠ODA，加上∠ODA=∠BAD，然后等量代换即可得到结论；
（2）利用正弦定义得sin∠A=sin∠BDC=，设BD=x，AB=5x，则AD=2x，然后证明△CBD∽△CDA，则利用相似比可计算出CD和AB，从而得到圆的半径．

（1）证明：连接OD，如图，

∵CD与半圆O相切于点D，

∴OD⊥CD，

∴∠ODC＝90°，即∠ODB+∠BDC＝90°，

∵AB是半圆O的直径，

∴∠BDA＝90°，即∠ODB+∠ODA＝90°，

∴∠BDC＝∠ODA，

∵OD＝OA，

∴∠ODA＝∠BAD，

∴∠BAD＝∠BDC；

（2）【解析】
∵sin∠A＝sin∠BDC＝，

∴，

设BD＝x，AB＝5x，则AD＝＝2x，

∵∠BAD＝∠BDC，∠BCD＝∠DCA，

∴△CBD∽△CDA，

∴，

而BC＝2，

∴CD＝4，AC＝8，

∴AB＝AC﹣BC＝6，

∴⊙O的半径位3．