Question

如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CN为⊙O的切线，OM⊥AB于点O，分别交AC、CN于D、M两点．

（1）求证：MD=MC；

（2）若⊙O的半径为5，AC=4，求MC的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）MC=.

【解析】（1）连接OC，利用切线的性质证明即可；

（2）根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．

（1）连接OC，

∵CN为⊙O的切线，

∴OC⊥CM，∠OCA+∠ACM=90°，

∵OM⊥AB，

∴∠OAC+∠ODA=90°，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∴∠ACM=∠ODA=∠CDM，

∴MD=MC；

（2）由题意可知AB=5×2=10，AC=4，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴BC==2，

∵∠AOD=∠ACB，∠A=∠A，

∴△AOD∽△ACB，

∴，即，

可得：OD=2.5，

设MC=MD=x，在Rt△OCM中，由勾股定理得：（x+2.5）2=x2+52，

解得：x=，

即MC=．