Question

同学们都学习过《几何》课本第三册第199页的第11题，它是这样的：如图，A为⊙O的直径EF上的一点，OB是和这条直径垂直的半径，BA和⊙O相交于另一点C，过点C的切线和EF的延长线相交于点D，求证：DA＝DC．

（1）现将图1中的直径EF所在直线进行平行移动到图2所示的位置，此时OB与EF垂直相交于H，其它条件不变．

①求证：DA＝DC；

②当DF：EF＝1：8，且DF＝时，求AB•AC的值．

（2）将图2中的EF所在直线继续向上平行移动到图3所示的位置，使EF与OB的延长线垂直相交于H，A为EF上异于H的一点，且AH小于⊙O的切线交EF于D，试猜想：DA＝DC是否仍然成立？证明你的结论．

Answer

（1）①见解析②24（2）结论DA＝DC仍然成立

【解析】

（1）①连接OC，利用切线的性质则可得到OC⊥DC，然后得到∠DCA=90°-∠ACO=90°-∠B=∠DAC，利用等角对等边得到DA=DC即可；
②利用DF：EF=1：8，DF=则可得到EF=8DF=8，然后利用切线长定理求得DC的长，进而得到DC、AD的长，然后利用切线长定理得：AB•AC=AE•AF=24；
（2）结论仍然成立，延长BO交⊙O于K，连CK，利用切线的性质可以得到∠DCA=∠CKB=90°-∠CBK，从而得到∠DCA=∠BAH，问题得证.

（1）①证明：连OC，则OC⊥DC，

∴∠DCA＝90°﹣∠ACO＝90°﹣∠B，

又∠DAC＝∠BAE＝90°﹣∠B，

∴∠DAC＝∠DCA∴DA＝DC，

②∵DF：EF＝1：8，DF＝，

∴EF＝8DF＝8，

又DC为切线，

∴DC2＝DF•DE＝×9＝18，

∴DC＝3，

∴AD＝DC＝3，

∴AF＝AD﹣DF＝2，

∴AE＝EF﹣AF＝6，

∴AB•AC＝AE•AF＝24；

（2）结论DA＝DC仍然成立，理由如下：

延长BO交⊙O于K，连CK，则∠KCB＝90°，

又DC为⊙O的切线，

∴∠DCA＝∠CKB＝90°﹣∠CBK，

又∠BAH＝90°﹣∠HBA，

而∠CBK＝∠HBA，

∴∠DCA＝∠BAH，

∴DA＝DC．