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(12分)如图,已知抛物线y=ax2+bx﹣2(a≠0)与x轴交于A、B两点,与...

(12)如图,已知抛物线yax2+bx2(a≠0)x轴交于AB两点,与y轴交于C点,直线BD交抛物线于点D,并且D(23)B(40)

(1)求抛物线的解析式;

(2)已知点M为抛物线上一动点,且在第三象限,顺次连接点BMC,求△BMC面积的最大值;

(3)(2)中△BMC面积最大的条件下,过点M作直线平行于y轴,在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心,OQ为半径且与直线AC相切的圆?若存在,求出圆心Q的坐标;若不存在,请说明理由.

 

(1)y=x2+x﹣2;(2)S△BMC最大值为4;(3)存在;点Q的坐标为(﹣2,4)或(﹣2,﹣1). 【解析】 (1)用待定系数法求出抛物线的解析式即可; (2)首先求出三边形BMC面积的表达式,然后利用二次函数的性质求出其最大值; (3)设点Q坐标为(﹣2,m).先求出sin∠QHN的值,然后求出直线AC的表达式,从而得出点H的坐标.解Rt△QNH得出m的值.即可得到结论. (1)将D(2,3)、B(﹣4,0)的坐标代入抛物线表达式得:,解得,∴抛物线的解析式为:yx2x﹣2. (2)过点M作y轴的平行线,交直线BC于点K. 将点B、C的坐标代入一次函数表达式:y=k′x+b′得:,解得:,则直线BC的表达式为:. 设点M的坐标为(x,),则点K(x,),S△BMC=•MK•OB=2()=﹣x2﹣4x. ∵a=﹣1<0,∴S△BMC有最大值,当x==﹣2时,S△BMC最大值为4,点M的坐标为(﹣2,﹣3); (3)如图所示,存在一个以Q点为圆心,OQ为半径且与直线AC相切的圆,切点为N,过点M作直线平行于y轴,交直线AC于点H. 点M坐标为(﹣2,﹣3),设:点Q坐标为(﹣2,m),点A、C的坐标为(1,0)、(0,﹣2),tan∠OCA=. ∵QH∥y轴,∴∠QHN=∠OCA,∴tan∠QHN=,则sin∠QHN=. 将点A、C的坐标代入一次函数表达式:y=mx+n得:,则直线AC的表达式为:y=2x﹣2,则点H(﹣2,﹣6). 在Rt△QNH中,QH=m+6,QN=OQ==,sin∠QHN= ,解得:m=4或﹣1. 即点Q的坐标为(﹣2,4)或(﹣2,﹣1).
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1)求点A的坐标;

2)求抛物线的解析式;

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①求点P的坐标;

②在直线PD上是否存在点M,使△ABM为直角三角形?若存在,求出符合条件的所有点M的坐标;若不存在,请说明理由.

 

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1)求抛物线的对称轴及a的值;

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1)求证:抛物线与x轴有交点;

2)若抛物线与x轴交于点Ax10),Bx20),点A在点B的右侧,且x1+2x21

m的值;

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