Question

△ABC中，BC＝12，高AD＝8，矩形EFGH的一边GH在BC上，顶点E、F分别在AB、AC上，AD与EF交于点M．

（1）求证：；

（2）设EF＝x，EH＝y，写出y与x之间的函数表达式；

（3）设矩形EFGH的面积为S，求S与x之间的函数表达式，并写出S的最大值．

Answer

（1）见解析；（2）y＝8﹣x（0＜x＜12）；（3）S矩形EFGH＝﹣（x﹣6）2+24，Smax＝24．

【解析】

（1）先判断出AM是△AEF的高，再判断出△AEF∽△ABC，即可得出结论；（2）先判断出四边形EMDG是矩形，得出DM＝EH，进而表示出AM＝8﹣y，借助（1）的结论即可得出结论；（3）由矩形的面积公式得出函数关系式，即可得出结论．

【解析】
（1）∵四边形EFGH是矩形，

∴EF∥BC，

∵AD是△ABC的高，

∴AD⊥BC，

∴AM⊥EF，

∵EF∥BC，

∴△AEF∽△ABC，

∴（相似三角形的对应边上高的比等于相似比）；

（2）∵四边形EFGH是矩形，

∴∠FEH＝∠EHG＝90°，

∵AD⊥BC，

∴∠HDM＝90°＝∠FEH＝∠EHG，

∴四边形EMDH是矩形，

∴DM＝EH，

∵EF＝x，EH＝y，AD＝8，

∴AM＝AD﹣DM＝AD﹣EH＝8﹣y，

由（1）知，，

∴ ，

∴y＝8﹣x（0＜x＜12）；

（3）由（2）知，y＝8﹣x，

∴S＝S矩形EFGH＝xy＝x（8﹣x）＝﹣（x﹣6）2+24，

∵a＝﹣＜0，

∴当x＝6时，Smax＝24．