Question

如图，AB为⊙O直径，C、D为⊙O上的点，∠ACD＝2∠A，CE⊥DB交DB的延长线于点E．

（1）求证：直线CE与⊙O相切；

（2）若AC＝8，AB＝10，求CE的长．

Answer

（1）见解析；（2）．

【解析】

（1）连接OC，由等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO，推出∠DCO＝∠D，得到OC∥DE，根据平行线的性质得到OC⊥CE，于是得到结论；（2）根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据切线的性质得到∠BCE＝∠BAC，根据相似三角形的性质列方程即可得到结论．

解（1）证明：连接OC，

∵OA＝OC，

∴∠A＝∠ACO，

∵∠ACD＝2∠A，

∴∠DCO＝∠ACO＝∠A，

∵∠A＝∠D，

∴∠DCO＝∠D，

∴OC∥DE，

∵CE⊥DB，

∴OC⊥CE，

∴直线CE与⊙O相切；

（2）【解析】
∵AB为⊙O直径，

∴∠ACB＝90°，

∵AC＝8，AB＝10，

∴BC＝6，

∵直线CE与⊙O相切，

∴∠BCE＝∠BAC，

∵∠CEB＝∠ACB＝90°，

∴△ABC∽△CBE，

∴，

∴，

∴CE＝．