Question

如图，AC平分∠BAD，∠DCA＝∠CAD，在CD的延长线上截取DE＝DA，连接AE．

（1）求证：AB∥CD；

（2）若AE＝5，AC＝12，求线段CE的长；

（3）在（2）的条件下，若线段CD上有一点P，使△DPA的面积是△ACD面积的六分之一，求PC长．

Answer

（1）证明见解析（2）13（3）

【解析】

（1）由AC平分∠BAD，得到∠BAC＝∠DAC，等量代换得到∠BAC＝∠ACD，根据平行线的判定定理即可得到结论；

（2）根据等腰三角形的性质得到∠DAE＝∠E，根据三角形的内角和得到∠CAE＝90°，根据勾股定理得到CE＝＝＝13；

（3）根据三角形的面积公式即可得到结论．

（1）∵AC平分∠BAD，

∴∠BAC＝∠DAC，

∵∠DCA＝∠CAD，

∴∠BAC＝∠ACD，

∴AB∥CD；

（2）∵DE＝DA，

∴∠DAE＝∠E，

∴∠ACD+∠E＝∠CAD+∠DAE＝×180°＝90°，

∴∠CAE＝90°，

∴CE＝＝＝13；

（3）∵AD＝CD＝DE＝，

∵点P在线段CD上，△DPA的面积是△ACD面积的六分之一，

∴PD：CD＝，

∴＝，

∴PC＝．