Question

已知直线l:y=kx+1与抛物线y=x²-4x

（1）求证：直线l与该抛物线总有两个交点；

（2）设直线l与该抛物线两交点为A，B，O为原点，当k=-2时，求△OAB的面积.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）联立两解析式，根据判别式即可求证；

（2）画出图象，求出A、B的坐标，再求出直线y=-2x+1与x轴的交点C，然后利用三角形的面积公式即可求出答案．

（1）联立

化简可得：x2-（4+k）x-1=0，

∴△=（4+k）2+4＞0，

故直线l与该抛物线总有两个交点；

（2）当k=-2时，

∴y=-2x+1

过点A作AF⊥x轴于F，过点B作BE⊥x轴于E，

∴联立

解得：或

∴A（1-，2-1），B（1+，-1-2）

∴AF=2-1，BE=1+2

易求得：直线y=-2x+1与x轴的交点C为（，0）

∴OC=1

∴S△AOB=S△AOC+S△BOC

=OC•AF+OC•BE

=OC（AF+BE）

=×（2-1+1+2）

=2.