Question

已知抛物线y₁＝﹣x²+mx+n，直线y₂＝kx+b，y₁的对称轴与y₂交于点A（﹣1，5），点A与y₁的顶点B的距离是4．

（1）求y₁的解析式；

（2）若y₂随着x的增大而增大，且y₁与y₂都经过x轴上的同一点，求y₂的解析式．

Answer

（1）y1=﹣x2﹣2x或y1=﹣x2﹣2x+8；（2）y2=x+．

【解析】

（1）根据题意求得顶点B的坐标，然后根据顶点公式即可求得m、n，从而求得y1的解析式；

（2）分两种情况讨论：当y1的解析式为y1=-x2-2x时，抛物线与x轴的交点（0，0）或（-2，0），y2经过（-2，0）和A，符合题意；

当y1=-x2-2x+8时，解-x2-2x+8=0求得抛物线与x轴的交点坐标，然后根据A的坐标和y2随着x的增大而增大，求得y1与y2都经过x轴上的同一点（-4，0），然后根据待定系数法求得即可．

（1）∵抛物线y1=-x2+mx+n，直线y2=kx+b，y1的对称轴与y2交于点A（-1，5），点A与y1的顶点B的距离是4．

∴B（-1，1）或（-1，9），

∴-=-1，=1或9，

解得m=-2，n=0或8，

∴y1的解析式为y1=-x2-2x或y1=-x2-2x+8；

（2）①当y1的解析式为y1=-x2-2x时，抛物线与x轴交点是（0.0）和（-2.0），

∵y1的对称轴与y2交于点A（-1，5），

∴y1与y2都经过x轴上的同一点（-2，0），

把（-1，5），（-2，0）代入得，

解得，

∴y2=5x+10．

②当y1=-x2-2x+8时，解-x2-2x+8=0得x=-4或2，

∵y2随着x的增大而增大，且过点A（-1，5），

∴y1与y2都经过x轴上的同一点（-4，0），

把（-1，5），（-4，0）代入得，

解得，

∴y2=x+．