Question

如图，抛物线y=﹣x²+x+2与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．

（1）试求A，B，C的坐标；

（2）将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD．

①求点D的坐标；

②判断四边形ADBC的形状，并说明理由；

（3）在该抛物线对称轴上是否存在点P，使△BMP与△BAD相似？若存在，请直接写出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）；（2）①D（3，﹣2）；②四边形ADBC是矩形,理由见解析;（3）存在,点P的坐标为：（1.5，1.25），（1.5，﹣1.25），（1.5，5），（1.5，﹣5）．

【解析】试题（1）直接利用y=0，x=0分别得出A，B，C的坐标；

（2）①利用旋转的性质结合三角形各边长得出D点坐标；

②利用平行四边形的判定方法结合勾股定理的逆定理得出四边形ADBC的形状；

（3）直接利用相似三角形的判定与性质结合三角形各边长进而得出答案．

试题解析：（1）当y=0时，0=﹣x2+x+2，

解得：x1=﹣1，x2=4，

则A（﹣1，0），B（4，0），

当x=0时，y=2，

故C（0，2）；

（2）①过点D作DE⊥x轴于点E，

∵将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD，

∴DE=2，AO=BE=1，OM=ME=1.5，

∴D（3，﹣2）；

②∵将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD，

∴AC=BD，AD=BC，

∴四边形ADBC是平行四边形，

∵AC=，BC=，AB=5，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ACB是直角三角形，

∴∠ACB=90°，

∴四边形ADBC是矩形；

（3）由题意可得：BD=，AD=2，

则，

当△BMP∽△ADB时，

，

可得：BM=2.5，

则PM=1.25，

故P（1.5，1.25），

当△BMP1∽△ABD时，

P1（1.5，﹣1.25），

当△BMP2∽△BDA时，

可得：P2（1.5，5），

当△BMP3∽△BDA时，

可得：P3（1.5，﹣5），

综上所述：点P的坐标为：（1.5，1.25），（1.5，﹣1.25），（1.5，5），（1.5，﹣5）．