Question

在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝90°，AB＝10，D为AC上点．将BD绕点B顺时针旋转60°得到BE，连接CE．

（1）证明：∠ABD＝∠CBE；

（2）连接ED，若ED＝2，求的值．

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）根据三角形的内角和得到∠ABC＝60°，根据旋转的性质得到∠EBD＝60°，根据角的和差即可得到∠ABD＝∠CBE；

（2）过D作DH⊥AB于H，解直角三角形得到AD＝2DH，AH＝DH，求得BH＝10﹣DH，推出△BDE是等边三角形，得到BD＝DE＝2，根据勾股定理列方程即可得到结论．

（1）∵在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝90°，

∴∠ABC＝60°，

∵将BD绕点B顺时针旋转60°得到BE，

∴∠EBD＝60°，

∴∠ABD＝60°﹣∠CBD，∠CBE＝60°﹣∠CBD，

∴∠ABD＝∠CBE；

（2）过D作DH⊥AB于H，

∵∠A＝30°，

∴AD＝2DH，AH＝DH，

∴BH＝10﹣DH，

∵将BD绕点B顺时针旋转60°得到BE，

∴BE＝BD，

∴△BDE是等边三角形，

∴BD＝DE＝2，

在Rt△BDH中，BD2＝BH2+DH2，

即（2）2＝（10﹣DH）2+DH2，

解得：DH＝，或DH＝4（不合题意舍去），

∴AD＝2，

∵AC＝5，

∴CD＝3，

∴＝．