Question

已知抛物线y₁＝x²+mx+n，直线y₂＝2x+1，抛物线y₁的对称轴与直线y₂的交点为点A，且点A的纵坐标为5．

（1）求m的值；

（2）若点A与抛物线y₁的顶点B的距离为4，求抛物线y₁的解析式；

（3）若抛物线y₁与直线y₂只有一个公共点，求n的值．

Answer

（1）m＝﹣4；（2）y1＝x2﹣4x+5或y1＝x2﹣4x+13；（3）n＝10．

【解析】

（1）根据题意得到点A的坐标为（2，5），根据抛物线的对称轴公式即可得到结论；

（2）根据已知条件得到点B的坐标为（2，1）或（2，9），根据顶点坐标公式列方程即可得到结论；

（3）根据抛物线y1与直线y2只有一个公共点得到的一元二次方程根的判别式为0，解关于n的方程即可得到结论．

（1）∵点A的纵坐标为5，点A在直线y2＝2x+1上，

∴5＝2x+1，得x＝2，

∴点A的坐标为（2，5），

∵物线y1的对称轴与直线y2的交点为点A，抛物线y1＝x2+mx+n，

∴﹣＝2，得m＝﹣4；

（2）∵点A与抛物线y1的顶点B的距离为4，点A的坐标为（2，5），

∴点B的坐标为（2，1）或（2，9），

∴＝1或9，

解得：n＝5或13，

∴抛物线y1的解析式的解析式为：y1＝x2﹣4x+5或y1＝x2﹣4x+13；

（3）解得，x2﹣6x+n﹣1＝0，

∵抛物线y1与直线y2只有一个公共点，

∴△＝36﹣4n+4＝0，

解得n＝10．