Question

如图,在直角坐标系中,抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0),其对称轴与x轴相交于点M.

(1)求抛物线的解析式和对称轴;

(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使△PAB的周长最小?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;

 

Answer

（1）；对称轴是x=3；（2） .

【解析】

（1）由抛物线与x轴的交点坐标可设两点式，再代入点A即可求出解析式；

（2）找到点A关于对称轴的对称点A'的坐标，连接BA'交对称轴于点P,连接AP,此时△PAB的周长最小,再根据B、A'两点的坐标求出其直线解析式，再由P点横坐标为3即可求出P点坐标.

解:(1)抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0),可设两点式,

设抛物线的解析式为y=a(x-1)(x-5),代入A(0,4),

求得a=,

∴y=(x-1)(x-5)=x2-x+4= (x-3)2-,

∴对称轴是x=3.

(2)

如图1,点A关于对称轴的对称点A'的坐标为(6,4),连接BA'交对称轴于点P,连接AP,此时△PAB的周长最小,

设直线BA'的解析式为y=kx+b,

把A'(6,4),B(1,0)代入得解得,

∴y=x-.

∵点P的横坐标为3,

∴y=×3-=.

∴P(3,).