Question

如图1，在△ABC中，AB=AC， D为直线BC上一动点（不与B，C重合），在AD的右侧作△ADE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE．

（1）当D在线段BC上时，求证:△BAD ≌△CAE；

（2）当点D运动到何处时，AC⊥DE，并说明理由；

（3）当CE∥AB时，若△ABD中最小角为20°，直接写出∠ADB的度数．

Answer

（1）见解析；（2）当D运动到BC中点时，AC⊥DE，理由见解析；（3）∠ADB=20°或40°或100°

【解析】

（1）根据SAS即可证明；

（2）当点D运动到BC中点时，AC⊥DE，由AB=AC知∠1=∠2，结合∠1=∠3，得出∠2=∠3．根据AE=AD，即可得；

（3）分三种情形分别求解即可解决问题；

【解析】
（1）∵∠DAE=∠BAC，

∴∠BAD=∠CAE．

∵AB=AC，AD=AE，

∴△BAD ≌△CAE（SAS）．

（2）当D运动到BC中点时，AC⊥DE ．

∵D是BC中点，AB=AC ，∴∠1=∠2．

∵△BAD ≌△CAE，∴∠1=∠3．∴∠2=∠3．

∵AD=AE，∴AC⊥DE．

∴当D运动到BC中点时，AC⊥DE．

（3）∠ADB=20°或40°或100° ．

理由：①如图，当点D在CB的延长线上时，

∵CE∥AB，
∴∠BAE=∠AEC，∠BCE=∠ABC，
∵△DAB≌△EAC，
∴∠ADB=∠AEC，∠ABD=∠ACE，
∴∠BAC=∠BAE+EAC=∠AEC+∠EAC=180°-∠ACE=180°-∠ABD=∠ABC=∠ACB，
∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°
∵△ABD中的最小角是∠BAD=20°，则∠ADB=∠ABC-∠BAD=40°．
②当点D在线段BC上时，最小角只能是∠DAB=20°，此时∠ABD=180°-20°-60°=100°．
③ 当点D在BC 延长线上时，最小角只能是∠ADB=20°，
综上所述，满足条件的∠ABD的值为20°或40°或100°．