Question

如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为AC延长线上一点，连接BD，在BC边上取一点E，使得CD=CE，连接AE并延长交BD于点F．

（1）依题意补全图形；

（2）求证：AF⊥BD；

（3）连接CF，点C 关于BD的对称点是Q，连接FQ，用等式表示线段CF,CQ之间的数量关系，并加以证明．

Answer

（1）见解析；（2）见解析；（3）CQ=CF，理由见解析

【解析】

（1）根据题意补全图形即可；

（2）根据SAS证明△ACE ≌△BCD，得出∠1=∠2，从而证出∠BFE=∠ACE即可．

（3）过C作CG⊥CF交AF于G，再根据∠ACB=90°，得出∠3=∠4，从而证出△ACG ≌△BCF，得出CG =CF，从而得出∠CFG=45°．再根据点C与 Q关于BD对称，证出△CFQ是等腰直角三角形即可．

【解析】
（1）如图：

（2）在△ACE和△BCD中，

∴△ACE ≌△BCD （SAS）．

∴∠1=∠2．

∵∠AEC=∠BEF，

∴∠BFE=∠ACE．

∵∠ACE=90°，∴∠AFB=90°．

∴AF⊥BD．

（3）数量关系是：CQ=CF．

过C作CG⊥CF交AF于G．

∴∠GCF=90°．

∵∠ACB=90°，∴∠3=∠4．

∵∠1=∠2，AC=BC，

∴△ACG ≌△BCF（ASA）．

∴CG =CF．∴△CGF是等腰直角三角形．

∴∠CFG=45°．∴∠CFD=45°．

∵点C与 Q关于BD对称，∴CF =FQ．

∠CFD=∠QFD=45°．

∴△CFQ是等腰直角三角形．

∴CQ=CF．