Question

如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．

（1）出发2秒后，求△ABP的周长．

（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？

（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？

Answer

（1）△ABP的周长为7+；（2）t为3s、5.4s、6s、6.5s时，△BCP为等腰三角形； （3）t为2或6秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．

【解析】

（1）过P作PE⊥AB，设CP=t，根据角平分线的性质和勾股定理进行解答即可；
（2）分类讨论：当CP=CB时，△BCP为等腰三角形，若点P在AC上得t=3（s），若点P在AB上，则t=5.4s；当PC=PB时，△BCP为等腰三角形，作PD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质得BD=CD，则可判断PD为△ABC的中位线，则AP=AB=，易得t=（s）；当BP=BC=3时，△BCP为等腰三角形，则AP=AB-BP=2，易得t=6（s）；
（3）分两种情况讨论：当P点在AC上，Q在AB上，则PC=t，BQ=2t-3，t+2t-3+3=6；当P点在AB上，Q在AC上，则AC=t-4，AQ=2t-8，t-4+2t-8=6，分别求得t的值即可．

（1）过P作PE⊥AB，设CP=t

∵BP为∠ABC的角平分线

∴EP=CP

∵PE⊥AB，∠C=90°

∴△CPB△≌PEB

∴CB=EB=3

∴CP=2t=EP

∴AE=AB-BE=2

∴AE2+ PE2=AP2

∴4+t2=（4-t）2

所以t=；

（2）如图2，当CP=CB时，△BCP为等腰三角形，

若点P在CA上，则1t=3，
解得t=3（s）；
如图3，当BP=BC=3时，△BCP为等腰三角形，
∴AP=AB-BP=2，
∴t=（4+2）÷1=6（s）；
如图4，若点P在AB上，CP=CB=3，作CD⊥AB于D，则根据面积法求得CD=，
在Rt△BCD中，由勾股定理得，BD=，
∴PB=2BD=
∴CA+AP=4+5-=5.4，
此时t=5.4÷1=5.4（s）；
如图5，当PC=PB时，△BCP为等腰三角形，作PD⊥BC于D，则BD=CD，
∴PD为△ABC的中位线，
∴AP=BP=AB=，
∴t=（4+）÷1=（s）；
综上所述，t为3s或5.4s或6s或s时，△BCP为等腰三角形；

（3）如图6，当P点在AC上，Q在AB上，则PC=t，BQ=2t-3，

∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴t+2t-3+3=6，
∴t=2（s）；
如图7，当P点在AB上，Q在AC上，则AP=t-4，AQ=2t-8，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴t-4+2t-8=6，
∴t=6（s）；
综上所述，当t=2或6秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．