Question

如图，已知直线MN与以AB为直径的半圆相切于点C，∠A＝28°．

(1)求∠ACM的度数；

(2)在MN上是否存在一点D，使AB•CD＝AC•BC，为什么？

Answer

(1)∠ACM＝62°；(2)存在符合条件的点D，使AB•CD＝AC•BC，理由见解析.

【解析】

(1)求∠ACM 的度数,需求出∠B 的度数;在 中,已知∠A 的度数,即可求出∠B 、∠ACM 的度数;
(2)乘积的形式通常可以转化为比例的形式:
① ,此时需证 ,那么过B作MN的垂线,那么垂足即为符合条件的D点;
②,此时需证,则过A作MN的垂线,垂足也符合D点的条件.
两者的证明过程一致,都是通过弦切角得出一组对应角相等,再加上一组直角得出三角形相似.

(1)∵AB是半圆的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠B＝90°﹣∠A＝62°，

∵直线MN与以AB为直径的半圆相切于点C，

∴∠ACM＝∠B＝62°；

(2)存在符合条件的点D，使AB•CD＝AC•BC，

①过A作AD⊥MN于D，则AB•CD＝AC•BC，

证明：∵MN是半圆的切线，且切点为C，

∴∠ACD＝∠B，

∵∠ADC＝∠ACB＝90°，

∴△ABC∽△ACD，

∴，

即AB•CD＝AC•BC；

②过B作BD⊥MN于D，则AB•CD＝AC•BC，

证明过程同①，

因此MN上存在至少一点D，使AB•CD＝AC•BC．