Question

如图，在平行四边形ABCD中，P是CD边上的一点，AP与BP分别平分∠DAB和∠CBA．

(1)判断△APB是什么三角形，证明你的结论；

(2)比较DP与PC的大小；

(3)画出以AB为直径的⊙O，交AD于点E，连接BE与AP交于点F，若tan∠BPC＝，求tan∠AFE的值．

Answer

(1)△APB是直角三角形，理由见解析；(2)DP＝PC；(3)tan∠AFE＝.

【解析】

（1）可通过角的度数来判断三角形APB的形状．由于ABCD是平行四边形，AD∥BC，那么同旁内角∠DAB和∠CBA的和应该是180°，AP与BP分别平分∠DAB和∠CBA，于是∠PAB和∠ABP的和就应该是90°，即∠APB＝90°，因此可得出三角形APB的形状．
（2）可通过平行和角平分线，通过等角对等边得出DP＝AP，同理可证出PC＝BC，根据平行四边形的性质，AD＝BC，可得出DP＝PC．
（3）由AB为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到∠AEB＝∠APB＝90°，又AP为角平分线，根据角平分线定义得到一对角相等，根据两对角相等的两三角形相似，得到三角形AEF与三角形APB相似，进而得到对应角相等，又平行四边形的对边AB与DC平行，得到一对内错角相等，等量代换得到∠AFE与∠BPC相等，即可求出所求∠AFE的正切值．

(1)△APB是直角三角形，理由如下：

∵AD∥BC，

∴∠DAB＋∠ABC＝180°；

又∵AP与BP分别平分∠DAB和∠CBA

∴∠PAB＝∠DAB，∠PBA＝∠ABC，

∴∠PAB＋∠PBA＝(∠ABC＋∠DAB)

＝×180°＝90°，

∴△APB是直角三角形；

(2)∵DC∥AB，

∴∠BAP＝∠DPA．

∵∠DAP＝∠PAB，

∴∠DAP＝∠DPA，

∴DA＝DP

同理证得CP＝CB．

∴DP＝PC．

(3)∵AB是⊙O直径，

∴∠AEB＝∠APB＝90°．

∵AP为角平分线，即∠EAF＝∠PAB，

∴△AEF∽△APB，

∴∠AFE＝∠ABP，

又ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，

∴∠ABP＝∠BPC，

∵tan∠BPC＝，

∴tan∠AFE＝．