Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，以点O为圆心的圆分别交x轴的正半轴于点M，交y轴的正半轴于点N．劣弧的长为，直线与x轴、y轴分别交于点A、B．

（1）求证：直线AB与⊙O相切；

（2）求图中所示的阴影部分的面积（结果用π表示）

Answer

（1）证明见解析；（2）．

【解析】

试题（1）作OD⊥AB于D，由弧长公式和已知条件求出半径OM=，由直线解析式求出点A和B的坐标，得出OA=3，OB=4，由勾股定理求出AB=5，再由△AOB面积的计算方法求出OD，即可得出结论；

（2）阴影部分的面积=△AOB的面积﹣扇形OMN的面积，即可得出结果．

试题解析：（1）证明：作OD⊥AB于D，如图所示：

∵劣弧的长为，∴=，解得：OM=，即⊙O的半径为，∵直线与x轴、y轴分别交于点A、B，当y=0时，x=3；当x=0时，y=4，∴A（3，0），B（0，4），∴OA=3，OB=4，∴AB==5，∵△AOB的面积=AB•OD=OA•OB，∴OD===半径OM，∴直线AB与⊙O相切；

（2）【解析】
图中所示的阴影部分的面积=△AOB的面积﹣扇形OMN的面积==．