Question

如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD＝CD，点E是边AC的中点，连接DE，DE的延长线与边BC相交于点F，AG∥BC，交DE于点G，连接AF、CG.

(1)求证：AF＝BF；

(2)如果AB＝AC，求证：四边形AFCG是正方形．

Answer

(1)详见解析；（2）详见解析.

【解析】

（1）根据线段垂直平分线的性质，可得AF=CF，再根据等角的余角相等可得∠B=∠BAF，所以AF=BF．
（2）由AAS可证△AEG≌△CEF，所以AG=CF．由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形AFCG是平行四边形，进而证得四边形AFCG是菱形，最后根据有一个角为直角的菱形是正方形得证四边形AFCG是正方形．

证明 (1)∵AD＝CD，点E是边AC的中点，

∴DE⊥AC.

即得DE是线段AC的垂直平分线．

∴AF＝CF.

∴∠FAC＝∠ACB.

在Rt△ABC中，由∠BAC＝90°，

得∠B＋∠ACB＝90°，∠FAC＋∠BAF＝90°.

∴∠B＝∠BAF.

∴AF＝BF.

(2)∵AG∥CF，

∴∠AGE＝∠CFE.

又∵点E是边AC的中点，

∴AE＝CE.

在△AEG和△CEF中，

∴△AEG≌△CEF(AAS)．

∴AG＝CF.

又∵AG∥CF，

∴四边形AFCG是平行四边形．

∵AF＝CF，

∴四边形AFCG是菱形．

在Rt△ABC中，由AF＝CF，AF＝BF，得BF＝CF.

即得点F是边BC的中点．

又∵AB＝AC，

∴AF⊥BC.即得∠AFC＝90°.

∴四边形AFCG是正方形．