Question

如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点．

（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF=（AC﹣AB）；

（2）如图2，请直接写出线段AB、AC、EF之间的数量关系。

Answer

（1）详见解析；（2）EF＝(AB－AC)，理由详见解析.

【解析】

（1）先证明AB=AD，根据等腰三角形的三线合一，推出BE=ED，根据三角形的中位线定理即可解决问题；

（2）先证明AB=AP，根据等腰三角形的三线合一，推出BE=ED，根据三角形的中位线定理即可解决问题．

(1)证明 如图1中，

∵AE⊥BD，

∴∠AED＝∠AEB＝90°，

∴∠BAE＋∠ABE＝90°，∠DAE＋∠ADE＝90°，

∵∠BAE＝∠DAE，

∴∠ABE＝∠APE，

∴AB＝AD，∵AE⊥BD，

∴BE＝DE，∵BF＝FC，

∴EF＝DC＝(AC－AD)＝(AC－AB)．

(2)结论：EF＝(AB－AC)，

理由：如图2中，延长AC交BE的延长线于P.

∵AE⊥BP，

∴∠AEP＝∠AEB＝90°，

∴∠BAE＋∠ABE＝90°，∠PAE＋∠APE＝90°，

∵∠BAE＝∠PAE，

∴∠ABE＝∠ADE，

∴AB＝AP，

∵AE⊥BD，

∴BE＝PE，

∵BF＝FC，

∴EF＝PC＝(AP－AC)＝(AB－AC)．