Question

如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分別在矩形ABCD的边AB、CD、DA上，AH＝2.

(1)已知DG＝6，求AE的长；

(2)已知DG＝2，求证：四边形EFGH为正方形．

Answer

（1）AE＝4；（2）详见解析.

【解析】

（1）先根据矩形的性质，利用勾股定理列出表达式：HG2=DH2+DG2，HE2=AH2+AE2，再根据菱形的性质，得到等式DH2+DG2=AH2+AE2，最后计算AE的长；
（2）先根据已知条件，用HL判定Rt△DHG≌Rt△AEH，得到菱形的一组邻边相等，进而判定该菱形为正方形．

(1)解 ∵AD＝6，AH＝2，

∴DH＝AD－AH＝4，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝∠D＝90°，

∴在Rt△DHG中，HG2＝DH2＋DG2，

在Rt△AEH中，HE2＝AH2＋AE2，

∵四边形EFGH是菱形，

∴HG＝HE，

∴DH2＋DG2＝AH2＋AE2，

即42＋62＝22＋AE2，

∴AE＝＝4.

(2)证明∵AH＝2，DG＝2，

∴AH＝DG，

∵四边形EFGH是菱形，

∴HG＝HE，

在Rt△DHG和Rt△AEH中，

∴Rt△DHG≌Rt△AEH(HL)，

∴∠DHG＝∠AEH，

∵∠AEH＋∠AHE＝90°，

∴∠DHG＋∠AHE＝90°，

∴∠GHE＝90°，

∵四边形EFGH是菱形，

∴四边形EFGH是正方形．