Question

如图，在菱形ABCD中，过对角线BD上任一点P，作EF∥BC，GH∥AB，下列结论正确的是________________．(填序号)

①图中共有3个菱形；

②△BEP≌△BGP；

③四边形AEPH的面积等于△ABD的面积的一半；

④四边形AEPH的周长等于四边形GPFC的周长．

Answer

①②④

【解析】

∵图中有三个菱形，如菱形ABCD、菱形HOFD、菱形BEPG，∴①正确；
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥DC，AD∥BC，∠ABD=∠CBD，
∵EF∥BC，GH∥AB，
∴四边形BEPG是平行四边形，
∴PE=BG，PG=BE，
在△BEP和△PGB中，

∴△BEP≌△PGB（SSS），

∴②正确；

∵只有当H为AD中点，E为AB中点时，四边形AEPH的面积等于△ABD的面积的一半，∴③错误；

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB∥CD，AD∥BC，

∵EF∥BC，GH∥AB，

∴AD∥EF∥BC，AB∥GH∥CD，

∴四边形AEPH、四边形HPFD、四边形BEPG、四边形PFCG是平行四边形，

∴AH=BG=PE，AE=HP=DF，BE=PG=CF，DH=PF=VG，

∵四边形ABCD是菱形，

∴∠EBP=∠GBP，

∵PE∥BG，

∴∠EPB=∠GBP，

∴∠EBP=∠EPB，

∴BE=PE，

∴AH=PE=BG=BE=CF=PG，

同理AE=HP=DF=PF=CG，

∴四边形AEPH的周长=四边形GPFC的周长，∴④正确；

故答案为：①②④．