Question

如图，点A、C分别在一个含45°的直角三角板HBE的两条直角边BH和BE上，且BA＝BC，过点C作BE的垂线CD，过E点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点，交HE于P．

（1）试判断△PCE的形状，并请说明理由；

（2）若∠HAE＝120°，AB＝3，求EF的长．

Answer

（1）△PCE是等腰直角三角形（2）6

【解析】

（1）根据∠PCE＝∠DCE＝×90°＝45°，求证∠CPE＝90°，然后即可判断三角形的形状．

（2）根据∠HEB＝∠H＝45°得HB＝BE，再根据BA＝BC和∠HAE＝120°，利用ASA求证△HAE≌△CEF，得AE＝EF，又因为AE＝2AB．然后即可求得EF．

（1）△PCE是等腰直角三角形，

理由如下：

∵∠PCE＝∠DCE＝×90°＝45°

∠PEC＝45°

∴∠PCE＝∠PEC

∠CPE＝90°

∴△PCE是等腰直角三角形

（2）∵∠HEB＝∠H＝45°

∴HB＝BE

∵BA＝BC

∴AH＝CE

而∠HAE＝120°

∴∠BAE＝60°，∠AEB＝30°

又∵∠AEF＝90°

∴∠CEF＝120°＝∠HAE

而∠H＝∠FCE＝45°

∴△HAE≌△CEF（ASA）

∴AE＝EF

又∵AE＝2AB＝2×3＝6

∴EF＝6