已知：关于x的方程：mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0．（1）求证：无论m取...

已知：关于x的方程：mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0．

（1）求证：无论m取何值时，方程恒有实数根；

（2）若关于x的二次函数y=mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式．

（1）分与两种情况讨论，再结合一元二次方程的根的判别式即可判断；（2）【解析】试题(1)、分两种情况讨论：①当m=0时，方程为一元一次方程，若能求出解，则方程有实数根； ②当m≠0时，方程为一元二次方程，计算出△的值为非负数，可知方程有实数根．(2)、根据二次函数与x轴的交点间的距离公式，求出m的值，从而得到抛物线的解析式．试题解析：(1)、①当m=0时，原方程可化为x﹣2=0，解得x=2；②当m≠0时，方程为一元二次方程， △=[﹣（3m﹣1）]2﹣4m（2m﹣2） =m2+2m+1 =（m+1）2≥0，故方程有两个实数根；故无论m为何值，方程恒有实数根． (2)、∵二次函数y=mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2的图象与x轴两交点间的距离为2， ∴=2，整理得，3m2﹣2m﹣1=0，解得m1=1，m2=﹣．则函数解析式为y=x2﹣2x或y=﹣x2+2x﹣．

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考点分析：

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已知抛物线p：y=+bx+c的顶点为C，与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），点C关于x轴的对称点为C′，我们称以A为顶点且过点C′，对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线，直线AC′为抛物线p的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y=+2x+1和y=2x+2，则这条抛物线的解析式为_____________．