Question

若两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”。

（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；

（2）已知关于x的二次函数y₁=2x²—4mx+2m²+1，和y₂=ax²+bx+5，其中y₁的图象经过点A（1，1），若y₁+y₂为y₁为“同簇二次函数”，求函数y₂的表达式，并求当0≤x≤3时，y₂的最大值。

Answer

（1）本题为开放题，答案不唯一，符合题意即可，如：；

（2），当时，的最大值为20.

【解析】

试题(1)、只需任选一个点作为顶点，同号两数作为二次项的系数，用顶点式表示两个为“同簇二次函数”的函数表达式即可．(2)、由y1的图象经过点A（1，1）可以求出m的值，然后根据y1+y2与y1为“同簇二次函数”就可以求出函数y2的表达式，然后将函数y2的表达式转化为顶点式，再利用二次函数的性质就可以解决问题．

试题解析：(1)、设顶点为（h，k）的二次函数的关系式为y=a（x﹣h）2+k， 当a=2，h=3，k=4时，

二次函数的关系式为y=2（x﹣3）2+4． ∵2＞0， ∴该二次函数图象的开口向上．

当a=3，h=3，k=4时， 二次函数的关系式为y=3（x﹣3）2+4． ∵3＞0，∴该二次函数图象的开口向上．

∵两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4顶点相同，开口都向上，

∴两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4是“同簇二次函数”．

∴符合要求的两个“同簇二次函数”可以为：y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4．

(2)、∵y1的图象经过点A（1，1）， ∴2×12﹣4×m×1+2m2+1=1． 整理得：m2﹣2m+1=0． 解得：m1=m2=1．

∴y1=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1， ∴y1+y2=2x2﹣4x+3+x2+bx+c=3x2+（b﹣4）x+（c+3），

∵y1+y2与y1为“同簇二次函数”， ∴y1+y2=3（x﹣1）2+1=3x2﹣6x+4， ∴函数y2的表达式为：y2=x2﹣2x+1．

∴y2=x2﹣2x+1=（x﹣1）2， ∴函数y2的图象的对称轴为x=1． ∵1＞0，

∴函数y2的图象开口向上． 当0≤x≤3时，∵函数y2的图象开口向上， ∴y2的取值范围为0≤y2≤4．