Question

如图，已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点．点P是x轴上的一个动点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）求C、D两点坐标及△BCD的面积；

（3）若点P在x轴上方的抛物线上，满足S_△PCD=S_△BCD，求点P的坐标．

Answer

(1)y=﹣（x﹣1）2+4；(2)C（﹣1，0），D（3，0）；6；(3)P（1+，），或P（1﹣，）

【解析】

（1）设抛物线顶点式解析式y=a（x-1）2+4，然后把点B的坐标代入求出a的值，即可得解；
（2）令y=0，解方程得出点C，D坐标，再用三角形面积公式即可得出结论；
（3）先根据面积关系求出点P的坐标，求出点P的纵坐标，代入抛物线解析式即可求出点P的坐标．

【解析】
(1)、∵抛物线的顶点为A（1，4），

∴设抛物线的解析式y=a（x﹣1）2+4，

把点B（0，3）代入得，a+4=3， 解得a=﹣1，

∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4；

(2)由（1）知，抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4；

令y=0，则0=﹣（x﹣1）2+4，

∴x=﹣1或x=3， ∴C（﹣1，0），D（3，0）；

∴CD=4，

∴S△BCD=CD×|yB|=×4×3=6；

(3)由(2)知，S△BCD=CD×|yB|=×4×3=6；CD=4，

∵S△PCD=S△BCD，

∴S△PCD=CD×|yP|=×4×|yP|=3，

∴|yP|= ，

①点P在x轴上方的抛物线上时

∴yP＞0，

∴yP= ，

∵抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4；

∴=﹣（x﹣1）2+4，

∴x=1±，

∴P（1+ ， ），或P（1﹣，）．

②若点P在x轴下方的抛物线上时

∴yP＜0，

∴yP=- ，

∵抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4；

∴- =﹣（x﹣1）2+4，

∴x=1±，

∴P（1+，- ），或P（1﹣，-）．

综上可知：

P（1+ ，）或（1﹣，）或（1+，- ）或（1﹣，- ）．