Question

如图1，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC，点P、Q同时从点B出发，以相同的速度分别沿折线B→A→C、射线BC运动，连接PQ．当点P到达点C时，点P、Q同时停止运动．设BQ=x，△BPQ与△ABC重叠部分的面积为S．如图2是S关于x的函数图象（其中0≤x≤8，8＜x≤m，m＜x≤16时，函数的解析式不同）．

（1）填空：m的值为         ；

（2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

（3）请直接写出△PCQ为等腰三角形时x的值．

Answer

(1)；(2)当0≤m≤8时，s =；当＜x≤16时，s=+4x；当＜x≤16时，s=；(3)+4或8+．

【解析】

试题（1）根据题意求出BC的长即可．

（2）分三种情形①0≤m≤8，②＜x≤16，③＜x≤16，分别求出△APQ面积即可．

（3）分三种情形讨论：①当点P在AB上，点Q在BC上，△PQC不可能为等腰三角形．②当点P在AC上，点Q在BC上，根据PQ=QC列出方程即可.③当点P在AC上，点Q在BC的延长线，根据CP=CQ列出方程即可．

试题解析：（1）如图1中，作AM⊥BC，PN⊥BC，垂足分别为M，N．

由题意AB=AC=8，∠A=120°，

∴∠BAM=∠CAM=60°，∠B=∠C=30°，

∴AM=AB=4，BM=CM=，

∴BC=，

∴m=BC=，

故答案为：．

（2）①当0≤m≤8时，如图1中，

在RT△PBN中，∵∠PNB=90°，∠B=30°，PB=x，

∴PN=x．

s=•BQ•PN=•x••x=．

②当＜x≤16时，如图2中，

在RT△PBN中，∵PC=16﹣x，∠PNC=90°，∠C=30°，

∴PN=PC=8﹣x，

∴s=•BQ•PN=•x•（8﹣x）=+4x．

③当＜x≤16时，

s=ו（8﹣x）=，

综上，当0≤m≤8时，s =；当＜x≤16时，s=+4x；当＜x≤16时，s=.

（3）①当点P在AB上，点Q在BC上时，△PQC不可能是等腰三角形．

②当点P在AC上，点Q在BC上时，PQ=QC，

∵PC=QC，

∴16﹣x=（﹣x），

∴x=+4．

③当点P在AC上，点Q在BC的延长线时，PC=CQ，

即16﹣x=x﹣，

∴x=8+．

∴△PCQ为等腰三角形时x的值为+4或8+．