Question

如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于点C（0，－3），点P是直线BC下方抛物线上的一个动点．

（1）求二次函数解析式；

（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形.是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.

Answer

【解析】
（1）将B、C两点的坐标代入，得

， 解得。

∴二次函数的解析式为。

（2）存在。如图1，假设抛物线上存在点P，使四边形为菱形，连接交CO于点E。

∵四边形为菱形， K∴PC=PO，且PE⊥CO。

∴OE=EC=，即P点的纵坐标为。

由解得：

（不合题意，舍去）。

∴存在这样的点，此时P点的坐标为（，）。

（3）如图2，连接PO，作PM⊥x于M，PN⊥y于N。设P点坐标为（x，），

由=0，得点A坐标为（－1，0）。

∴AO=1，OC=3， OB=3，PＭ=，PN＝x。

∴S四边形ABPC=++

=AO·OC+OB·PM+OC·PN

=×1×3+×3×()+×3×x

==。

∴当x=时，四边形ABPC的面积最大．此时P点坐标为（，），四边形ABPC的最大面积为。

【解析】

试题（1）直接把B（3，0）、C（0，－3）代入可得到关于b、c的方程组，解方程组求得b，c，则从而求得二次函数的解析式。

（2）假设抛物线上存在点P，使四边形为菱形，连接交CO于点E，则PO=PC，根据翻折的性质得OP′=OP，CP′=CP，易得四边形POP′C为菱形，又E点坐标为（0， ），则点P的纵坐标为，把y=

代入可求出对应x的值，然后确定满足条件的P点坐标。

（3）由S四边形ABPC=++求出S四边形ABPC关于P点横坐标的函数表达式，应用二次函数的最值原理求解。