Question

如图，抛物线经过点A（﹣2，0），点B（0，4）.

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）P是抛物线对称轴上的点，联结AB、PB，如果∠PBO=∠BAO，求点P的坐标；

（3）将抛物线沿y轴向下平移m个单位，所得新抛物线与y轴交于点D，过点D作DE∥x轴交新抛物线于点E，射线EO交新抛物线于点F，如果EO=2OF，求m的值.

Answer

（1）;（2）P（1，）; （3）3或5.

【解析】

（1）将点A、B代入抛物线，用待定系数法求出解析式.

（2）对称轴为直线x=1，过点P作PG⊥y轴，垂足为G, 由∠PBO=∠BAO，得tan∠PBO=tan∠BAO，即，可求出P的坐标.

（3）新抛物线的表达式为，由题意可得DE=2，过点F作FH⊥y轴，垂足为H，∵DE∥FH，EO=2OF，∴，∴FH=1.然后分情况讨论点D在y轴的正半轴上和在y轴的负半轴上，可求得m的值为3或5.

【解析】
（1）∵抛物线经过点A（﹣2，0），点B（0，4）

∴，解得,

∴抛物线解析式为,

（2）,

∴对称轴为直线x=1，过点P作PG⊥y轴，垂足为G,

∵∠PBO=∠BAO，∴tan∠PBO=tan∠BAO，

∴,

∴，

∴,

，

∴P（1，）,

（3）设新抛物线的表达式为

则,，DE=2

过点F作FH⊥y轴，垂足为H，∵DE∥FH，EO=2OF

∴，

∴FH=1.

点D在y轴的正半轴上，则，

∴,

∴，

∴m=3,

点D在y轴的负半轴上，则，

∴,

∴，

∴m=5,

∴综上所述m的值为3或5.