Question

四边形ABCD中，∠ABC+∠D＝180°，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F．

求证：（1）△CBE≌△CDF；

（2）AB+DF＝AF．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

试题（1）根据角平分线的性质可得到CE=CF，根据余角的性质可得到∠EBC=∠D，已知CE⊥AB，CF⊥AD，从而利用AAS即可判定△CBE≌△CDF．

（2）已知EC=CF，AC=AC，则根据HL判定△ACE≌△ACF得AE=AF，最后证得AB+DF=AF即可．

试题解析：证明：（1）∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD

∴CE=CF

∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠EBC=180°

∴∠EBC=∠D

在△CBE与△CDF中，

,

∴△CBE≌△CDF；

（2）在Rt△ACE与Rt△ACF中，

∴△ACE≌△ACF

∴AE=AF

∴AB+DF=AB+BE=AE=AF．