Question

如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E，EF⊥AB交AB的延长线于点F，EG⊥AC于点G．

求证：（1）BF＝CG；

（2）AB+AC＝2AF．

Answer

(1) 见解析；（2）见解析

【解析】

（1）连接EB、EC，利用已知条件证明Rt△BEF≌Rt△CEG，即可得到BF=CG；
（2）根据（1）中的条件证得Rt△AFE≌Rt△AGE，根据全等三角形的性质得到AG=AF，于是得到结论．

(1)如图，连接BE和CE.

∵DE是BC的垂直平分线，

∴BE＝CE.

∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC，

∴∠BFE＝∠EGC＝90°，EF＝EG.

在Rt△BFE和Rt△CGE中，

BE=CE，EF=EG，

∴Rt△BFE≌Rt△CGE(HL)，

∴BF＝CG.

(2)∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC，

∴∠AFE＝∠AGE＝90°，∠FAE＝∠GAE.

在△AFE和△AGE中，

∠FAE＝∠GAE ，∠AFE＝∠AGE，AE=AE，

∴△AFE≌△AGE，∴AF＝AG.

∵BF＝CG，

∴AB＋AC＝AF－BF＋AG＋CG＝2AF.