Question

如图，在△ABC中，AB＝AC，CD垂直AB于D，P为BC上的任意一点，过P点分别作PE⊥AB，PF⊥CA，垂足分别为E，F．

（1）若P为BC边中点，则PE，PF，CD三条线段有何数量关系（写出推理过程）？

（2）若P为线段BC上任意一点，则（1）中关系还成立吗？

（3）若P为直线BC上任意一点，则PE，PF，CD三条线段间有何数量关系（请直接写出）．

Answer

（1）CD＝PE+PF，理由详见解析；（2）成立，理由详见解析；（3）PE﹣PF＝CD或PF﹣PE＝CD．

【解析】

（1）如图1，连接PA，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；

（2）连接PA，根据三角形的面积公式即可得到结论；

（3）如图2和图3，连接PA，根据三角形的面积列方程即可得到结论．

（1）CD＝PE+PF．理由如下：

如图1，连接PA．

∵CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．

∵S△ABCAB×CD，S△PABAB×PE，S△PACAC×PF．

又∵S△ABC＝S△PAB+S△PAC，∴AB×CDAB×PEAC×PF．

∵AB＝AC，∴CD＝PE+PF．

（2）成立，理由如下：

连接PA．

∵CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．

∵S△ABCAB×CD，S△PABAB×PE，S△PACAC×PF．

又∵S△ABC＝S△PAB+S△PAC，∴AB×CDAB×PEAC×PF．

∵AB＝AC，∴CD＝PE+PF．

（3）结论：PE﹣PF＝CD或PF﹣PE＝CD．理由如下：

如图2，连接PA．

∵CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．

∵S△ABCAB×CD，S△PABAB×PE，S△PACAC×PF．

又∵S△ABC＝S△PAC﹣S△PAB，∴AB×CDAC×PFAB×PE．

∵AB＝AC，∴CD＝PF﹣PE．

如图3，连接PA．

∵CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．

∵S△ABCAB×CD，S△PABAB×PE，S△PACAC×PF．

又∵S△ABC＝S△PAB﹣S△PAC，∴AB×CDAB×PEAC×PF．

∵AB＝AC，∴CD＝PE﹣PF．