Question

如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=16cm，BC=12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．

（1）出发2秒后，求△PBQ的面积；

（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？

（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．

Answer

（1）S△PBQ=；（2）出发秒钟后，△PQB能形成等腰三角形 ；（3）当t为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ为等腰三角形．

【解析】

（1）根据点P、Q的速度求出AP、BQ的长，再求出BP的长，利用三角形面积公式计算即可；（2）设出发t秒钟后，△PQB能形成等腰三角形，则BP=BQ，由BQ=2t，BP=16-t，列式求得t即可；（3）当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况：①当CQ=BQ时，则∠C=∠CBQ，可证明∠A=∠ABQ，则BQ=AQ，则CQ=AQ，从而求得t；②当CQ=BC时，则BC+CQ=12，易求得t；③当BC=BQ时，过B点作BE⊥AC于点E，则求出BE，CE，即可得出t．

（1）∵BQ=2×2=4（cm），AP=2×1=2cm,

BP=AB﹣AP=16﹣2=14（cm ），

∵∠B=90°，

∴S△PBQ=

（2）设出发t秒钟后，△PQB能形成等腰三角形，

BQ=2t，BP=16﹣t，

根据题意得：2t=16﹣t，

解得：t =，

即出发秒钟后，△PQB能形成等腰三角形.

（3）①当CQ=BQ时，如图1所示，

则∠C=∠CBQ，

∵∠ABC=90°，

∴∠CBQ +∠ABQ=90°．

∠A +∠C=90°，

∴∠A=∠ABQ，

∴BQ=AQ，

∴CQ=AQ=10，

∴BC+CQ=22，

∴t=22÷2=11秒.

②当CQ=BC时，如图2所示，

则BC+CQ=24，

∴t=24÷2=12秒．

③当BC=BQ时，如图3所示，过B点作BE⊥AC于点E，

∵AB=16cm，BC=12cm，

∴AC==20cm.

则，

∴，

∴CQ=2CE=14.4，

∴BC+CQ=26.4，

∴t=26.4÷2=13.2秒．

综上所述：当t为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ为等腰三角形．