Question

如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，且BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．

（1）求证：AB＝AC；

（2）若DC＝4，∠DAC＝30°，求AD的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）根据角平分线的性质得到DE＝DF，证明Rt△BDE≌Rt△CDF，根据全等三角形的性质得到∠B＝∠C，根据等腰三角形的判定定理证明；

（2）根据直角三角形的性质求出AC，根据勾股定理计算即可．

（1）证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE＝DF，

在Rt△BDE和Rt△CDF中， ，

∴Rt△BDE≌Rt△CDF，

∴∠B＝∠C，

∴AB＝AC；

（2）∵AD平分∠BAC，BD＝CD，

∴AD⊥BC，

∵∠DAC＝30°，

∴AC＝2DC＝8，

∴AD＝．