Question

如图，点O是△ABC内一点，连接OB，OC，并将AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G依次连接得到四边形DEFG．

（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；

（2）若OB⊥OC，∠EOM和∠OCB互余，OM＝3，求DG的长度．

Answer

（1）证明见解析；（2）6

【解析】

（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥BC且EF＝BC，DG∥BC且DG＝BC，从而得到DG＝EF，DG∥EF，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可．

（2）想办法证明OM＝MF＝ME即可解决问题．

（1）证明：∵D、G分别是AB、AC的中点，

∴DG∥BC，DG＝BC，

∵E、F分别是OB、OC的中点，

∴EF∥BC，EF＝BC，

∴DG＝EF，DG∥EF，

∴四边形DEFG是平行四边形；

（2）∵OB⊥OC，

∴∠BOC＝90°，

∵∠EOM+∠COM＝90°，∠EOM+∠OCB＝90°，

∴∠COM＝∠OCB，

∵EF∥BC，

∴∠OFE＝∠OCB，

∴∠MOF＝∠MFO，

∴OM＝MF，

∵∠OEM+∠OFM＝90°，∠EOM+∠MOF＝90°，

∴∠EOM＝∠MEO，

∴OM＝EM，

∴EF＝2OM＝6．

由（1）有四边形DEFG是平行四边形，

∴DG＝EF＝6．