Question

如图，在▱ABCD中，AB⊥AC，对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转一个角度α（0°＜α≤90°），分别交线段BC，AD于点E，F，连接BF．

（1）如图1，在旋转的过程中，求证：OE＝OF；

（2）如图2，当旋转至90°时，判断四边形ABEF的形状，并证明你的结论；

（3）若AB＝1，BC＝，且BF＝DF，求旋转角度α的大小．

Answer

（1）证明见解析；（2）平行四边形，理由见解析；（3）45°

【解析】

（1）由平行四边形的性质得出∠OAF＝∠OCE，OA＝OC，进而判断出△AOF≌△COE，即可得出结论；

（2）先判断出∠BAC＝∠AOF，得出AB∥EF，即可得出结论；

（3）先求出AC＝2，进而得出A＝1＝AB，即可判断出△ABO是等腰直角三角形，进一步判断出△BFD是等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一得出∠BOF＝90°，即可得出结论．

（1）证明：在▱ABCD中，AD∥BC，

∴∠OAF＝∠OCE，

∵OA＝OC，∠AOF＝∠COE，

∴△AOF≌△COE（ASA），

∴OE＝OF；

（2）当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形，理由：

∵AB⊥AC，

∴∠BAC＝90°，

∵∠AOF＝90°，

∴∠BAC＝∠AOF，

∴AB∥EF，

∵AF∥BE，

∴四边形ABEF是平行四边形；

（3）在Rt△ABC中，AB＝1，BC＝，

∴AC＝＝2，

∴OA＝1＝AB，

∴△ABO是等腰直角三角形，

∴∠AOB＝45°，

∵BF＝DF，

∴△BFD是等腰三角形，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OB＝OD，

∴OF⊥BD（等腰三角形底边上的中线是底边上的高），

∴∠BOF＝90°，

∴∠α＝∠AOF＝∠BOF﹣∠AOB＝45°．